Prof. Wieners

Eigenwertprobleme von riesigen Dimensionen treten in numerischen Modellen der Geophysik (z.B. Erdbebenanalyse und -vorhersage), der Teilchenphysik und der Elektronenstrukturberechnung (z.B. Berechnung von molekularen Bindungsenergien), der Elektrodynamik (Simulation elektromagnetischer Wellen in Schaltkreisen) u.v.a.m. auf. In modernen Simulationen werden dabei immer detailliertere Modelle verwendet, so dass traditionell verwendete Eigenwertapproximationen nicht mehr einsetzbar sind. Durch die immer komplexeren Konfigurationen stoßen diese Simulationen - insbesondere in der Parallelisierung - zunehmend an ihre Grenzen. Daher soll ein allgemeines und fliexibles Werkzeug entwickelt werden, das effiziente parallele Eigenfrequenz- und Eigenschwingungsanalysen für unterschiedliche Feldgleichungen und heterogene Materialien ermöglicht.

Wir untersuchen die zeitharmonischen Maxwell-Gleichungen in linearen Materialien. Insbesondere betrachten wir die folgenden Modellprobleme:

• Maxwell Cavity Resonator
• Maxwell Eigenwert-Problem
• Quasi-periodisches Eigenwert-Problem (Photonische Kristalle)

Für alle Berechnungen wird ein Mehrgitter-Verfahren verwendet. Zur Eigenwertberechnung benutzen wir eine Variante des LOBPCG-Verfahrens (Locally Optimal Block Preconditioned Conjugate Gradient Method) mit Projektion auf divergenzfreie Vektorfelder, welches ein viertes Modellproblem hervorbringt:

• Projektions-Problem (Laplace)

Maxwell Cavity Resonator
Das Cavity-Problem ist indefinit. Das Mehrgitter-Verfahren benötigt ein relativ feines Grobgitter, auf das ein paralleler Löser angewendet wird.

Im Bild links ist ein Beispiel für einen Cavity-Resonator zu sehen, welches auf 64 Prozessoren verteilt ist. Auf dem niedrigsten Level (L0) hat das Maxwell-Problem etwa 64.000 Unbekannte. Eine dreimalige Verfeinerung ergeben für das Maxwell-Problem knapp 32 Millionen Unbekannte. Hier wird das Mehrgitter-Verfahren gestartet und der parallele Löser wird in dem Fall auf L0 angewandt.

Maxwell-Eigenwert-Problem

Das Modellbeispiel beschreibt einen Teilchenbeschleuniger. Hier hat das Maxwell-Problem auf niedrigstem Level (L0) etwa 160.000 Unbekannte, das zugehörige Laplace-Problem aus der Projektion knapp 26.000 Unbekannte. Eine dreimalige Verfeinerung (auf L3) ergibt knapp 80 Millionen Unbekannte für das Maxwell-Problem und über 11 Millionen Unbekannte für das Laplace-Problem.
In diesem Fall kann für L0 ein paralleler LDL^T-Löser angewendet werden. Die Lösungszeiten sind in Tabelle 1 zu sehen. 

 

 

Teilchenbeschleuniger verteilt auf 64 Prozessoren

 

#procs	Maxwell dec.	Maxwell sol.	Laplace dec.	Laplace sol.
16	39.00 sec.	0.10 sec.	0.69 sec.	0.01 sec.
32	12.78 sec.	0.06 sec.	0.21 sec.	0.03 sec.
64	4.31 sec.	0.12 sec	0.42 sec.	0.12 sec.

 benötigte Zeit für die Zerlegung (dec.) und Lösung (sol.) des parallelen Lösers

für das Maxwell- und Laplace-Problem auf L0

 

 

 

Quasi-periodisches Eigenwert-Problem

Gesucht sind die ersten Eigenwerte und Eigenmoden eines Würfels mit unterschiedlicher Besetzungsstruktur. Die Berechnung der ersten sieben Eigenmoden mit über 50 Millionen Unbekannten benötigt auf 512 Prozessoren ungefähr 20 Minuten.

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